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理科研讨

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问 a + 4＋ b + 9 的最小值是多少？ 例2：已知b是一个正实数，请证明b＋ ＋ 1
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分析：处理这道题目时，如果直接使用代入法来 b b + 4
b
处理，那么就需要把这个不等式的最值给计算出来， 17
≥ 。
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但是通过仔细观察题目中的式子，能够发现 a + 4 4
分析：解答这一试题时，假如想要直接证明问
与 b + 9 里面都是一个字母与数字的平方和，故可
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题，很难形成明确的思路，不过，通过认真观察之后，
以运用构造法，把原式根号里面的平方和变换成求
能够发现题干中所要证明的式子与对勾函数十分类
线段长度，且借助勾股定理完善试题的解答。 4
详解：根据题意画出图 1，在图中画线段 AB，让 似，据此可设 b＋ ＝x，即为构造出特征函数 f（x）＝
b
AB＝a＋b，构造出直角三角形 AED 与 BEC，分别以 1
x＋ ，然后进行证明，可简化证明流程。
AB和AD当作邻边构造出一个矩形ABFD， x
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A D 详解：根据题意可设b＋ ＝x，
b
因为b是一个正实数，
E
4 4
由此能够得到x＝b＋ ≥2 b × ＝4，
b b
C
1
B F 因为能够构造出特征函数f（x）＝x＋ ，
图1 x
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设AD＝2， BC＝3， AE＝a， BE＝b， 所以能够证明b＋ ＋ 1 4 ≥ 17 。
b
4
b +
那么DE＝ a + 4，CE＝ b + 9， b
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在解答这一试题时，用直接证明的方法很难形
故CD的长就是 a + 4＋ b + 9 的最小值，
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成明确的解题思路。教师根据实际情况，引导学生经
当C、E、D三点保持共线时，CD有最小值，
过认真观察，发现题干中所要证明的式子与对勾函
即为CD＝ CF ＋DF ＝13，
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数十分类似，于是通过题干提供的条件，运用构造法
所以 a + 4＋ b + 9 的最小值是13。 指引学生结合试题结构与形式的特征先构造出适当
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在例1解题的过程中，如果运用常规的代入法来 函数，然后再进行证明，简化了证明流程，解决了特
处理这道题，就需要把这个不等式的最值给计算出 殊结构的数学难题。
来，极容易使学生陷入学习困境之中。为了避免学生 三、构造反向思路，从问题的反方向切入，解决
在解题过程中陷入困境，教师可以指导学生运用构 正向思维视角难以解决的难题
造法进行解题，让他们把原式根号里面的平方和变 反向构造就是常说的逆向思维，指的是当基于
换成求线段长度，并借助勾股定理完善试题的解答， 正向思维视角难以解决题目的问题时，就可从问题
顺利突破了难题障碍。 的反方向切入，进行思考和分析，最终推理出符合结
二、通过题干提供的条件，运用构造法解决特殊 论的条件，通过对该条件的构造来处理试题。在高中
结构的数学难题 数学解题中运用反向构造法时，教师可提示学生遵
构造特殊结构指的是通过对题干中提供的条件 循“正难则反”的基本原则，利用反向思考的方式构

进行观察、总结与类比以后，转变成比较常见的一个 造出满足题目结论所需的条件。不过，如果不能满足
特殊结构，然后根据这些特殊结构的性质确定解题 题目结论的实例，借其作为证明构造条件是不正确
的切入口与条件之间的连接点，由此把难以解决的 的，而且他们构造反例时需考虑到全面性、简单化与
问题变换成能够处理的问题。 精准性 。
［3］
例如，高中数学教师可指引学生结合试题结构 例 3：已知函数 f（x）＝x ＋| x－a |＋1，且 x∈R，请
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与形式的特征先构造出适当函数，再结合函数的有 判断该函数是奇函数还是偶函数？
界性、单调性、奇偶性、值域、定义域等视角进行研 分析：本题设题的目的是要考查学生是否能够
究，让他们从中找到解题方案与思路，使其轻松、高 判断该函数是奇函数还是偶函数。这里可运用逆向
效地解决数学难题。 思维，构造反向思路，只需确定 x 在定义域内让
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教师纵横 2024.9