Page 116 - 2024-9期

理科研讨

思维的应用以及在现实背景中应用解析几何等问 1
求得 k ＝2 或者 k ＝ （这时同渐近线相平行，
2
2
1 1
题。这是一道典型的圆锥曲线类试题，它综合考查了 2
与题意不符，故舍去），
双曲线、直线、斜率、三角函数与平面几何等知识，学
又因为k ＞0，
生在平时学习中只要牢固掌握这些基本内容就能够 1
所以k ＝ 2，
应对该题。教师要鼓励学生尽可能找到多种不同的 1
解题方法，使其思维得以发散，从而促进数学思维能 那么l AP ： y＝ 2（x－2）＋1，
［3］
力的提升 。 l AQ ： y＝－ 2（x－2）＋1，
第二，要求学生通过分组合作探究的方式进行 ì 2 （x－2）+ 1
ïy =
联立起来能够得到 í ，
讨论、交流与分享。学生经过合作探究后，一共归纳 ï y = -x + m
î
出以下3种解题方法。
求得x ＝（ 2－1）m＋5－3 2，
方法一，（1）直接把点 A（2，1）的坐标代入双曲线 1
采用同样的方法能够求得
方程中，
x ＝－（ 2＋1）m＋5＋3 2，
2
4 1
能够得到 － = 1， 故x ＋x ＝10－2m，
a 2 a - 1 1 2
2
根据（1）可知x ＋x ＝4m，
整理化简以后得到a ＝2， 1 2
2
x 2 则10－2m＝4m，
则双曲线C的方程是 －y = 1，
2
5
2 求得m＝ ，
根据题意可知直线 l的斜率显然是存在的，可设 3
5
y
l 的方程为 y＝kx+m，点 P、Q 的坐标分别是（x ，y）与 故l AP ：＝－x＋ ，
1 1 3
y
（x ，）， 16
|
2 2 则| PQ |＝ 2| x 1 －x 2 ＝ ，
将直线和双曲线的方程联立起来即为 3
ì y = kx + m 那么点A到直线l的距离
ï | |
í x 2 5 |
ï - y = 1 | 2 + 1 - |
2
|
î 2 d＝ 3 ＝ 2 2 ，
3
由此得到（2k －1）x ＋4kmx＋2m ＋2＝0， 2
2
2
2
|
4km 2m + 2 所以ΔPAQ的面积是S＝ | PQ d
1
2
那么x 1 + x 2 ＝－ ， x 1 x 2 ＝ ， 2
2
2
2k - 1 2k - 1
y 1 - 1 y 2 - 1 1 16 2 2 16 2
结 合 题 意 可 知 k ＋k ＝ ＋ ＝ ＝ × × ＝ 。
AP
AQ
x 1 - 2 x 2 - 2 2 3 3 9
方法二，（1）采用同样方法求出双曲线方程是
kx 1 + m - 1 kx 2 + m - 1
＋ ＝0， x 2
x 1 - 2 x 2 - 2 - y = 1，
2
2
整理化简以后能够得到
设直线l AP 的斜率是k，假设k＞0，那么k ＝－k，
AQ
2kx x ＋（m－1－2k）（x ＋x）－4（m－1）＝0，
y
y
1 2 1 2 故l AP ：－1＝k（x－2）， l AQ ：－1＝－k（x－2），
则（k＋1）（m＋2k－1）＝0，
把两个式子联立起来能够得到
据此求得m＝－1或者m＝1－2k，
ì x 2
2
又因为直线l不经过点A，故m≠1－2k， ï 2 - y = 1
í
所以直线l的斜率是k ＝－1。 ï y = k（x - 2）+ 1
l î
（2）根据题意可设直线 AP、AQ 的斜率分别为 k 、 整理以后能够得到
1
k ，则 k ＋k ＝0，不妨设 k ＞0，经过点 P 画出 x 轴的平 （2k －1）x ＋（4k－8k）x＋8k －8k＋4＝0，
2
2
2
2
2 1 2 1
行线，同 AQ 相交于 E 点，则∠PAB＝π－（∠APE＋ 8k - 8k + 4
2
根据x P x A ＝ 可以得到
2
∠PEA）， 2k - 1
2
| | x P ＝ 4k - 4k + 2 ，
那么tan∠PAQ＝ k 1 - k 2 ＝ | | 2k 1 | | ＝2 2， 2k - 1
2
| 2 |
1 + k 1 k 2 1 - k 1 4k - 4k + 2
2
采用同样的方法能够得到x Q ＝ ，
即为2k －5k ＋2＝0， 2k - 1
2
4
2
1 1
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