Page 121 - 2024-9期

理科研讨

n
得到了a₁ = 1， d = 2。所以S 5 的值是25。 S n - 4 =（3n - 4）× 2 。因此，
这道例题主要是要求学生熟练掌握数列概念 T n =（3×1-4）×2＋（3×2-4）×2 ＋（3×3-4）×2 3
2
n
的基本知识，能够灵活运用基础知识解决问题。通 ＋（3 × 4 - 4）× 2 ＋…＋（3n - 4）× 2 ……①
4
2
3
过数列概念的基本知识的训练，培养学生的数列 2T n =（3×1-4）×2 ＋（3×2-4）×2 ＋（3×3-4）×2 4
n
5
模型思维。 ＋（3×4-4） ×2 ＋…＋（3n-7）×2 ＋（3n-4）×
（二）让学生熟练掌握错位相减解题法，培养 2 n + 7 ……②
学生的解题能力 ①－②可以得到
n
3
2
错位相减法，是一种运用两边同乘方法对数列 -T n =－2＋3×（2 ＋2 ＋…＋2）－（ 3n－4）×2 n + 1
2
式子进行转化，两式做差，化繁为简的解题方法。若 2（2 n - 1 - 1）
=－2＋3 × -（3n - 4）× 2 n + 1
存在一个数列，数列 a n = b n ·c n ，其中{ }为等差数列， 2 - 1
b n
=－14＋（14－6n ） ×2 n
{ } 是 等 比 数 列（公 比 q ≠ 1），记 S = b 1 c 1 + b 2 c 2 + n
c n
经过计算， -T n = -14 +（14 - 6n）2 ，因此， T n =
…b n - 1 c n - 1 + b n c n 。针对这种同时存在等差与等比数 14 +（6n - 14）2 。
n
列的复杂试题，可以采用错位相减法进行解题，在 这道题的整体条件较为复杂，教师可以利用错
公 式 的 两 侧 同 时 乘 公 比 q，可 以 得 到 qS = b 1 c 2 + 位相减法求解，引导学生运用两边同乘方法对数列
b 2 c 3 + …b n - 1 c n + b n c n + 1 ，对式子的两侧进行简化， 式子进行转化，通过两式做差，化繁为简，对学生进
最终得到 S n 。 行解题训练，提高学生的解题能力。
例 2：有 数 列{ }，已 知 数 列 的 前 n 项 和 S n = 二、熟练掌握递推数列的试题解题方法，培养
a n
n
2a n - 3 × 2 + 4（n ∈ N*） ，请解决如下问题。 学生的数学推导能力
递推数列与推导能力之间存在密切的关系。递
①数列{ }的通项公式是什么？
a n
推数列的构建和解析过程都需要推导能力的支持，
②假设 T n 是数列{S n - 4 }的前 n 项和，请问 T 等
n
同时，通过学习和应用递推数列，也可以有效提升学
于多少？
生的推导能力。递推数列的构建和解析过程本质上
解析：这道题是一道经典的“求解数列前n项和”
是一种推导能力的体现，在构建推导数列时，需要明
的问题，题目已知条件中虽然主要为等差数列，没有
确每一项与前一项（或前几项）之间的关系。这需要
等比数列，但是题目分别提出了“求解通项公式”“通 具备逻辑推理和数学运算的能力。在解析递推数列
}
过变形找到数列{S n - 4 ”这两个问题，第一个问题 时，同样需要推导能力来找出数列的规律，进而求解
属于常规提问，而第二个问题需要学生认真观察数 数列的通项公式或特定项的值。因此，递推数列不仅
列的变形情况。这道题的整体条件较为复杂，因此可 是对数列规律的一种描述，也是培养和锻炼推导能
以利用错位相减法求解。 力的一种有效工具。
解题方法：问题①根据数列通项公式定义，可 递推数列是高中数列习题中常见的数列形式，
n
以得到 S n + 1 - S n = 2（a n + 1 - a n ）- 3（2 n + 1 - 2 ） ，即 按照一般习题设计的情况，递推数列习题大致可以
n
a n + 1 = 2a n + 3 × 2 。利用错位相减法，对式子的两 分为两类，一类是利用已知递推公式求数列通项，
a n 3 一类是利用递推思想建立公式之后探讨数列问题
a n + 1
侧同时除以 2 n + 1 ，可以得到 ＝ n ＋ ，可以得
2 n + 1 2 2 本质。在解决递推数列习题时，教师可以引导学生
a n 3
a n + 1
到 － = 。按 照“a 1 = 2a 1 - 3 × 2 + 4”，可 以 通过分析确定题目的解题方向，然后利用母函数
2 n + 1 2 n 2 法、不动点法等方法解题。通过解题练习，学生能够
{ } a 1
a n
得出 a 1 = 2，因此，数列 n 的首项是 =1，公差 熟练掌握递推数列的试题解题方法，培养学生的数
2 2
学推导能力。
3 a n 3 a n 3n - 1
是 。所 以 = 1 +（n - 1）× ，得 到 = ， （一）掌握母函数解题法，培养学生的推导能力
2 2 n 2 2 n 2
a n =（3n - 1）× 2 n - 1 。 母函数，就是指递推数列下面的形式级数，比
}
问题②按照“T 是数列{S n - 4 的前 n 项和”这 如，已知数列{ }（n = 0，1，2，3⋯），那么这个数
a n
n
个已知条件，对数列公式变形，并且利用错位相减法 列的形式级数 f (x) 就是指母函数， f (x) = a 0 + a 1 x +
n - 1 a 2 x 2 + …。在高中数学数列习题的解题中，利用母函
进行计算。结合问题①，可知 a n =（3n - 1）× 2 ，将
n
这 个 公 式 代 入 S n = 2a n - 3 × 2 + 4 中 ，可 以 得 到 数解决递推数列问题，一般是先求出母函数 f (x)，之
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教师纵横 2024.9