Page 122 - 2024-9期

理科研讨

后将母函数 f (x) 展开为级数形式，推导出数列的通 +∞ n n +∞ n n
∑
∑
f （x）= A （5 + 2 6 ）x ＋B （5 - 2 6 ）x
项公式 。 n = 0 n = 0
［3］
+∞
n
n
∑
例 3：现 有 数 列{ }，已 知 数 列 中 a 1 =0， a n + 1 = = （A（5 + 2 6 ） + B（5 + 2 6 ）） x n
a n
5a n + 24a n + 1 （n = 0，1，2，…），请问，数列{ } n = 0
2
n
a n
所以，a n = A（5 + 2 6 ） + B（5 - 2 6 ） n
的通项公式是什么？
(5 + 2 6 ) n - 1 - (5 - 2 6 ) n - 1
解析：这道题是经典的求解数列通项公式，可以 =
4 6
利用数列的数函数求解。解题时，首先根据题目给出
这道题是经典的求解数列通项公式，利用数列
的信息，对递推式作变形处理，获得二阶齐次线性递
的数函数求解。在解题过程中，锻炼了学生的逻辑思
推数列；其次利用递推式补充定义，得到 a 0 的值，写
维和运算能力。教师指导学生通过分析确定题目的
出数列{ }母函数；最后采用函数代数值假设法，先
a n
解题方向后，利用母函数法进行解题，通过解题练
设定代数值，以级数形式呈现母函数，并且推理应项
习，学生熟练掌握了递推数列的试题解题方法，培养
系数，得到数列{ }的通项公式。这道题解题时，对 了学生的数学推导能力。
a n
学生的逻辑思维、运算能力有较高的要求。 （二）运用特征根解题法，培养学生的推导能力
2
解题方法：对 a n + 1 = 5a n + 24a n + 1 进行变形， 特征根解题法，通常用于数列关系并满足递进
k
得到 （a n + 1 - 5a n ） = 24a n + 1，将变形之后的式子展 的关系式，且 x是方程 x = λ 1 x k - 1 + λ 2 x k - 2 + λ 3 x k - 3 +
2
2
开进行简化，得到如下式子： ⋯λ k 的根的数列试题。在解题时，教师应该指导学生
2 2 （1） 判断题目中递推方程的根的情况。假若递推方程的
a n + 1 - 10a n + 1 a n + a n = 1
2
2
a n + 2 - 10a n + 2 a n + 1 + a n + 1 = 1 （2） 根 两 两 不 同 ，则 可 以 假 设 x 1 ， x 2 …x k 。那 么 数 列
}
n
n
n
观察（1）（2）可知，其特征方程为 {A 1 x 1 + A 2 x 2 + ⋯ + A k x k （n = 1，2，3，…），也 能
2
2
x - 10a n + 1 x + a n + 1 - 1 = 0 （3） 满足递进关系，可以根据题目中的初始条件确定其
在这组式子中，a 与a 均是（3）的根。 中的系数。通过这样的方式获得满足递进关系的数
n
n+2
数列{ }属于递推数列，且 a n 与 a n + 2 不同，按照 列通项，这样的解题方法称为特征根解题法 。
［4］
a n
韦达定理， a n +a n + 2 =10a n + 1 ，所以 a n + 2 =10a n + 1 -a n （n = 例 4：已知有这样一个数列，数列{ }与{ }满足
b n
a n
1，2，3⋯），所以a 0 =-1， a 1 =0， a 2 =1。
a 0 = 1，b 0 = 0，而且 a n + 1 = 7a n + 6b n - 3， b n + 1 = 8a n +
+∞ n
数列{ }的母函数 f （x） 满足 f （x） = ∑ a n x ，将 7b n - 4，且 （n = 1，2，3，…） ，请 证 明 a n （n =
a n
n = 0 1，2，3，…） 为完全平方数。
母函数f （x） 展开为级数形式，如下：
解析：这道题是经典的数列证明问题，解题涉及
+∞
=-1 + ∑ a n x n 通项公式、递进关系式、待定系数、二项式展开等内
n = 2
容，综合性较强，较为复杂，考查学生的逻辑推理能
+∞ +∞
n
=-1 + 10 ∑ a n - 1 x - ∑ a n - 2 x n 力。利用特征根方法解题，首先需要根据已知条件求
n = 2 n = 2
+∞ +∞ 解 b n 通项公式，得出 a n 递推表达式；其次建立特征方
=-1 + 10x ∑ a n x -x² ∑ a n x n
n
n = 1 n = 0 程，求解特征根，利用待定系数推导出 a n 代数表达
=-1 + 10x（ f （x）+ 1）- x²f （x） 式，求解；最后利用二项式展开，证明问题。
f
所以，（x）= 10x - 1 ， 解题方法：
2
x - 10x + 1
ì a n + 1 = 7a n + 6b n - 3
A B ∵a 1 = 1， 0 = 0，且 í （nϵN）
b
f （x）= ＋ ， î b n + 1 = 8a n + 7b n - 4
1 - (5 + 2 6 )x 1 - (5 - 2 6 )x
可以得到如下式子： 将a 1 = 4，b 1 = 4
ì (5 - 2 6 ) A + (5 + 2 6 )B = -10 由-7a n + 1 = 49a n + 42b n - 21……①
í 6b n + 1 = 48a n + 42b n - 24……②
î A + B = -1
②－①得6b n + 1 - 7a n + 1 = -a n - 3
5 - 2 6 -5 - 2 6
求解，得到A = ，B = 当n ≥ 2时，b n = 1 （7a n - a n - 1 - 3）代入可得
4 6 4 6 6
将f （x） 展开为级数形式，可以得到 a n + 1 = 7a n + 7a - a n - 1 -6
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教师纵横 2024.9