Page 117 - 2024-9期

理科研讨

将其代入直线l的方程中能够得到 （x－2）（y－1）＝0，

2 2
2
4k - 4k + 2 2k - 4k + 1 两边同时除以（x－2），
P（ ，－ )
2
2
2k - 1 2k - 1 （y - 1）
2
能 够 得 到（－2－4n） ＋（－4m＋4n）
2
2
4k - 4k + 2 2k - 4k + 2 （x - 2） 2
Q（ ，－ ），则
2
2
2k - 1 2k - 1
y - 1 ＋（1＋4m）＝0，
2
2
y P - y Q -2k + 4k - 1 + 2k + 4k + 1
k 1 ＝ ＝ ＝－1， x - 2
2
2
x P - x Q 4k - 4k + 2 - 4k - 4k - 2 1 + 4m 4n + 4m
k
则k k ＝－ ， ＋k ＝ ＝0，
故直线l的斜率是k ＝－1。 AP AQ 4n + 2 AP AQ 4n + 2
l
（2）经过点 A 画出 x 轴的垂线，且同 x 轴相交于 由此得到m＝n＝0，
1
D 点， 那么l PQ ：＝－x＋3＋ ，
y
m
由于 k AP + k AQ = 0，则 AD 是∠PAQ 的角平分线，
所以直线l的斜率是k ＝－1。
l
设 ∠PAD＝θ，那么根据正切的倍角公式能够 （2）经过点 A 画出 x 轴的垂线，且同 x 轴相交于 D
tan2θ
得到 tan2θ＝ ＝2 2， 点，
1 - tan2θ
根据 k ＋k ＝0 能判断出 AD 是∠PAQ 的角平分
AQ
AP
据此求得k AP ＝ 2 或者k AP ＝－ 2 （舍去），
2 线，
则l AP ： y－1＝ 2（x－2）， l AQ ： y＝－ 2（x－2）＋1， 设∠PAD＝θ，结合正切的倍角公式可得 tan2θ＝
2tanθ ＝2 2，
，
由此得到P （ 10 - 4 2 -5 + 4 2 ）， 1 - tan θ
2
3 3
AP
，
Q （ 10 + 4 2 -5 - 4 2 ）， 则k AP ＝ 2 或者k ＝－ 2 2 （舍去），
3 3
那么k k ＝－2，
AP AQ
|
|
那么| AP ＝ 1 + k | x P －x A ＝ 4 3 （ 2 - 1） ， 也就是k k ＝－ 1 + 4m ＝－2，
2
3 AP AQ
4n + 2
|
3
| AQ |＝ 1 + k | x Q －x A ＝ 4 3 （ 2 - 1） ， 据此求得m＝n＝－ ，
2
3 4
5
y
因为tan∠PAQ＝2 2， 那么l PQ ：＝－x＋ ，
3
2 2
所以sin∠PAQ＝ ， 按照方法一可得| PQ |
3 |＝ 2 | x 1 - x 2
所以ΔPAQ的面积是 8 2 16
2
＝ 2 （x 1 - x 2 ） - 4x 1 x 2 ＝ 2× ＝ ，
1
|
S＝ | AP || AP Q ×sin∠PAQ 3 3
2 5
2 + 1 -
1 4 3 （ 2 - 1） 4 3 （ 2 + 1） 2 2 点A到直线l的距离是d＝ 3 ＝ 2 2 ，
＝ × × × 3
2 3 3 3 2
|
1
16 2 故ΔPAQ的面积是S＝ | PQ d
＝ 。 2
9
方法三，（1）采用同样方法求出双曲线方程是 1 16 2 2 16 2
＝ × × ＝ 。
x 2 2 3 3 9
－y =1， 这是一道典型的圆锥曲线类的高考试题，它综
2
2
y
y
设点 P、Q 的坐标分别是（x ，）与（x ，）， 合考查了双曲线、直线、斜率、三角函数与平面几何
1 1 2 2
y 1 - 1 y 2 - 1 等知识。教师引领学生进行解题思路的分析，使学生
根据题意可知k ＋k ＝ ＋ ＝0，
AP AQ
x 1 - 2 x 2 - 2 了解了圆锥曲线类试题的特点。学生在教师的引导
此时可设l PQ ：m（x－2）＋n（y－1）＝1， 下，通过小组合作讨论探究，归纳出3种解题方法，学
根据双曲线方程能够得到 生在解题分析过程中，锻炼了思维能力和推导能力。
（x－2）＋2（y－1）＋4（x－2）－4（y－1）＝0， 教师在平时的教学中要引导学生牢固掌握这些基本
2
2
通过齐次化以后可以得到 内容，鼓励学生尽可能采用多种不同的解题方法去
（1＋4m）（x－2）＋（－2－4n）（y－1）＋（－4m＋4n） 分析高考试题，大胆进行思考和推导，促进自己解题
2
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教师纵横 2024.9