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理科研讨

f（－x ）≠f（x ），而且 f（－x ）≠－f（x ）。但是，在这一 所以h（x）可能是偶函数，且不是常值函数。
0 0 0 0
x
x
题目中，当 x ＝a 时，同题干内容存在矛盾，还要对 例 5：已知函数 f（x）＝4 －2 x＋1 ，≥0，那么 f （0）
－1
0
a 的值进行分类讨论。 的值是什么？
f
详解：当 a＝0 时，（x）＝x ＋| x－a |＋1 为偶函 分析：针对这类数学试题，一般解法是先对原函
2
数； 数是否存在反函数进行判断，假如存在，把反函数计
f
当 a≠0时，（a）＝a ＋1，（－a）＝a ＋2| a |＋1， 算出来以后再进行求解，不过解题过程较为复杂。解
f
2
2
－f（a）＝－a －1， 答本道试题时，可先不把反函数求出来，而是根据原
2
这时 f（－a）≠f（a），否则 a＝0。 函数与反函数之间的关系进行求解，即为对必要条
f （－a）≠－f（a），否则 a ＋2| a |＋1＝0。 件的构造，当求 f （0）的值时，就相当于求 f（x）＝0
－1
2
所以函数 f（x）＝x ＋| x－a |＋1 不属于奇偶函 时x的值。
2
数的任何一种。 详解：当 f（x）＝0 时，
x
在分析这道题时，由于从正向思维视角进行分 4 －2 x＋1 ＝0，
析难以解决问题，教师就引导学生从问题的反方向 解之得 x＝1，
切入，运用逆向思维，构造反向思路进行思考和分 即为 f （0）＝1，
－1
析，最终推理出符合结论的条件，通过对该条件的构 故 f （0）的值是 1。
－1
造来处理试题，解决了难题。 例 4 和例 5 是典型的构造解题所需的条件替代
四、根据题目特征构造解题所需的条件替代 原有条件从而轻松求解难题的案例。在解题过程中，
已知条件，解决数学难题 教师指导学生运用构造法，通过认真阅读题目和仔
这里的一定条件指的是数学中的充分条件与必 细审题，根据题目特征构造出解题所需的充分条件
要条件。构造这些条件时往往需要先对已知条件的 或必要条件，使用该条件来代替题干中的原条件，然
性质进行研究，尝试从具体性质中的某一组合切入， 后判断函数是否存在满足该条件的具体情况，从而
发掘出条件所蕴含的深意，确定一个切实可行的方 确定解题思路，轻松地解答了难题。

向来运用构造法。具体来说，就是在高中数学解题训 五、运用构造法由局部到整体解决数学难题
练中，教师指导学生应用构造法时，应以认真阅读题 由局部到整体展开构造，指的是根据某一程序
目和仔细审题为前提，根据题目特征构造出解题所 慢慢确定对象，把问题拆分成若干个层次，使题目得
需的充分条件或者必要条件，把原条件进行替代，由 以细化处理。即先把问题分解成几个局部进行构造，
此拓宽学生的解题思路，使其顺利完成求得结果 。 然后再进行合成，最后把整个问题给处理掉。
［4］
例 4：已知函数 f（x）与 h（x）都为定义域在 R 上 在高中数学解题练习中，运用由局部到整体的
面的函数，而且 h（x）＝f（x）f（x＋1），请判断函数 h 构造法同样可以用来处理函数方面的试题。教师需
（x）是否可能是一个偶函数？且不是常值函数？ 要提示学生，在拆解问题时要关注具体要求，尤其是
分析：解答这道题目时，可以构造一个充分条 在解答一些比较复杂的函数题目时，要求学生先把
件，让函数 h（x）满足偶函数的条件，使用该条件来 局部视为一个整体，以此把试题变得简单化，这样可
代替题干中的原条件，然后判断函数 f（x）是否存 以简化整合解题过程，从而提高做题效率 。
［5］
在满足该条件的具体情况，从而确定解题思路且 | y | | x + | y |
例6：请证明 | x + ≤
进行求解。 1 + | x + y | 1 + | x + | y |
|
详 解 ：如 果 函 数 f（x）满 足 f（-x）＝ f（x），
分析：通过对题干中给出的不等式样式进行认
f（-x+1）＝ f（x+1），且 x∈R ，
真观察，发现其属于多层函数，而且两个分式的结
由 此 能 够 得 到 h（－ x）＝ f（-x）f（-x+1）
构比较类似，故可以对题目展开逐层分析，从局部
＝ f（x）f（x+1）＝ h（x）， x
到整体，先构造出一个函数 f（x）＝ ，然后以此
因 为 f（x）＝ cos π x 满 足 f（-x）＝ f（x）， 1 + x
f（-x+1）＝ f（x+1），且 x∈R ， 为前提结合函数的单调性对不等式进行证明，由此
这时函数h（x）与题目条件相契合， 完成解题。
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教师纵横 2024.9