Page 113 - 2024-9期

理科研讨

x 3 1
y
详解：根据题意可构造出函数f（x）＝ ，≥0， 当0＜n＜e 时， y'＞0，＝n 是增函数，
n
2
x
1 + x
3
1
1 + x - x 1 当n＞e 时， y'＜0，＝n 是减函数，
y
n
2
那么 f '（x）＝ ＝ ，
（1 + x） （1 + x） 2 1 1
2
故1004 1004 ＞1005 1005 ，
则函数f（x）在x≥0中呈单调递增，
所以1004 1005 ＞1005 1004 。
然后让x ＝| x + y |，x ＝| x |＋ || y ，
1 2
这一题目是把特殊条件转化成常见的、共同性
由于0≤x ＝| x + y |≤| x |＋ || y ＝x ，
1 2 问题的典型题目，教师引导学生将两个数都是幂函
由此确定函数f（x ）≤f（x ）， 数的样式先构造出特殊的式子，对这两个式子的大
1 2
| x + | y | | x + | y | 小进行比较，然后通过构造把它们当成一般式子进
所以 ≤ 。
|
1 + | x + y | 1 + | x + | y | 行分析和处理，从而构造出共同的结构，最后借助该
该题属于多层函数，而且两个分式的结构比较 结构的性质来完成解题。所以，高中数学教师在日常
类似，所以，教师在引导学生解题的过程中，可以运 解题训练中，应当引领学生根据实际情况构造出从
用构造法由局部到整体对题目展开逐层分析，先构 特殊到一般结构的式子，辅助他们快速、准确地解决
x 问题。
造出一个函数 f（x）＝ ，然后以此为前提结合函
1 + x 七、运用构造法把一些非典型、非标准类函数题
数的单调性对不等式进行分析证明，轻松地完成了 构造成常规的函数关系进行解决
难题的分解。 函数是高中生从初中时期就开始学习的数学知
六、运用构造法，将特殊试题转化成一般化试题 识，初中阶段接触的函数知识较为简单，步入高中以
进行解决 后，所学的函数内容难度增大，范围更广。它能够作
特殊和一般属于两类相辅相成、相互促进的方 为一个常用的数学解题工具，可以用来处理多个方
法，由特殊至一般就是把特殊条件转化成常见的、共 面的试题。在高中数学解题训练中，当遇到一些非典
同的问题，由此实现一般化的分析和处理。而将特殊 型、非标准类函数试题时，教师可以指导学生结合题
构造成一般化则指的是当处理一些具体的特殊题目 目中提供的条件来构造出新的函数关系，把复杂的
时，把条件展开当作一般化处理，探寻条件中共同存 数学题目变得简单化，使之成为学生比较熟悉和常
在的源头，从而构造展现出共同的结构，然后借助该 见的函数关系，使其借助函数相关知识确定解题方
结构的性质来完成解题。因此，高中数学教师在日常 案与思路，最终在函数概念、图像与性质等辅助下顺

［7］
解题训练中，应当引领学生根据实际情况构造从特 利完成解题 。
［6］
5
2
5
2
殊到一般的结构，辅助他们快速、准确地求得结果 。 例 8：已 知 方 程（x －x＋1）－x ＋4x －8x＋4＝
1005 1004 谁大、谁小。 0，求该方程在实数范围内的所有解。
例7：请尝试比较1004 和1005
分析：处理这一题目时，假如直接进行计算的 分析：这是一道典型的高次方程试题，即便是高
话，不仅运算量较大，还容易出现错误。由于这两个 中生也没有接触过此类试题，而且这个方程也较为
n＋1 复杂，如果采用以往的常规思路与方式难以解题，故
数都是幂函数样式，可以先构造出特殊的式子 n 和
用常规思路与方式进行解题显然是不可取的。不过，
1
n
（n＋1），对这两个式子的大小进行比较，等价于 n n
教师可以引导学生根据方程同函数之间存在的紧密
1
和（n＋1） n + 1 的大小进行比较，然后通过构造一般式 联系进行解题，通过构造法的应用，将原方程转变成
1
子y＝n 就能够求解。 函数样式，然后借助函数的奇偶性展开探究，最终会
n
顺利求得方程的所有实数解。
1
n
详解：先令y＝n ，
详解：根据题意，原方程能够转变为
1
那么ln y＝ Ln n两边进行求导， （x －x＋1）＋4（x －x＋1）＝x ＋4x，
2
5
2
5
n
5
1 1 - Ln n n 2 此时可设函数 f（t）＝t ＋4t，
能够得到 ＝ ⇒y = ，
y n 2 1 - Ln n 那么函数 f（t）在定义域 R 上是增函数，
n（3 - 2Ln n） 原方程可以转化成 f（x －x＋1）＝f（x），
2
y'＝
2
(1 - Ln n) 2 由此得到x －x＋1＝x，
111
教师纵横 2024.9