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理科研讨

这道线段求和题涉及的几何知识有角平分线、 为顺利构建起从已知条件到求解之间的桥梁打下
圆内接四边形、圆周角定理、等边三角形、全等三角 基础，帮助学生习得解决几何综合难题的思维方
形、三角函数等。该题图形复杂，涉及的几何知识丰 法，培养学生的解题思维能力和解决数学疑难问题
富，已知条件与求解目标之间有较多的知识性桥梁 的能力。
需要去搭建。在初读问题求解 AB + BC 的值时，学生 （三）拟定解题方案

常常会直接联想到能否求出 AB 和 BC 的值，再将它 为了增强学生的识图能力，构建起解决问题的
们相加，显然这样的思路行不通。正向思维应该是通 几何知识脚手架，教师应该通过正向思维分析已知
过“圆内接四边形”让学生能联想到四边形 ABCD 的 条件和隐含条件，提取有利的二阶结论，通过逆向思
对角互补，那么这个结论有什么用处呢？本来“BD 平 维引导学生自然联想到采用截长补短的方法化解求
分∠ ABC，∠ABC=120°”可以自然得到“∠ABD=∠CBD 解答案所面临的难点，并拟出遇到的难题和解题方

=60°”，再结合“DH⊥AB， DH= 3 ”可以求解出 BD=2。 案。方案内容如下。
然而很遗憾，BD 并不是求解的目标线段。由于图形 从正向思维出发，可以从已知条件和隐含条件
的复杂、知识的综合、常规思路行不通等阻力，学生 中得到哪些有利的结论呢？
对问题无从下手。由于这道题是教师在“一题一课” （1）△ACD是等边三角形；
课堂中为学生展示的具有探究性、挑战性和典型性 （2） Rt△ BHD 中 ，∠HBD=60°， DH= 3，解 Rt△
的问题，为了能够正确解释这道难题，教师必须指导 BHD得BH=1， BD=2。
学生厘清问题的题意和思路。 从逆向思维出发， AB 与 BC 的长度难以分别求
（二）理清问题题意 出。已知线段 DH= 3， BH=1， BD=2 与目标 AB + BC
为了能够厘清思路，解答问题，教师可以引导学 有怎样的关系？能不能从几何图形的角度实现 AB +
生以波利亚解题思想和教育数学理论为指导，利用 BC？能不能运用截长补短的方法，将两条线段的和转
微课形式，研究解法，帮助学生习得解决几何综合难 化成与之等长且能够求解的线段？
题的思维方法。教师可以针对以下四个问题展开追 【设计意图】教师设计这个方案的意图是因为有
问，帮助学生厘清题意，为解题做准备。 了前面的梳理，教师可以进一步通过正向思维分析
问题1：题中的已知条件是什么？ 已知条件和隐含条件，提取有利的二阶结论；通过逆
问题 2：通过已知条件我们能推导出哪些隐含条 向思维引导学生自然联想到截长补短法，从而化解
件？ 求解答案所面临的难点，增强学生的识图能力，构建
问题3：题目求解的是什么？ 起解决问题的几何知识脚手架，初步拟定解决问题
问题 4：我们如何由已知条件和隐含条件求解出 的基本方法，以“润物细无声”的方式促进学生数学
问题答案？ 思维能力的提升。
解题思维导图见图2。 （四）执行解题方案
【设计意图】教师设计这些问题的意图是以波利 根据上述拟定的大致解题方案，首先，教师要求
亚的解题思想为指导，设计问题串链，步步引导，层 学生通过独立思考和开展小组探究活动的方法解决
层深入地启发学生观察和思考问题中的几何图形， 问题。学生经过一段时间的讨论和思考后，在教师的
以厘清题目中的已知条件、隐含条件和求解问题为 引导下解决了问题。其次，在解决问题之后，教师给
切入点，剖析题目和图形。借助希沃白板中显示图 学生展示出正确的解题方法和思路，让学生将自己
2 的思维导图，简洁明了地分层次展示分析的成果， 的解题方法和思路与教师展示的解题方法和思路进

圆内接四边形ABCD 对角互补

已知 BD是角平分线，∠ABC=120° ∠ABD=∠CBD=60° 等边三角形ACD

分析 DH⊥AB，DH= 3 解直角三角形 BH=1，BD=2

求解 求AB+BC的值
图2 思维导图
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教师纵横 2025.2