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理科研讨

行对比思考。通过对比和思考，丰富了解题思路，拓 BC=2BH=2。

宽了学生数学思维的广度。
教师给学生展示的截长补短法解题基本思路
如下。
解法 1. 如图 3，延长 BA 至点 E，使 AE = BC，连接
DE，由 BD 平分∠ABC，∠ABD = 60° 以及圆周角定理
不难知道△ACD 是等边三角形，故 AD = CD；由圆内
接 四 边 形 的 性 质 得 ∠BCD+ ∠BAD=180° ，又 因 为
∠EAD+∠BAD=180°，所以∠EAD=∠BCD；又因为 AE =
BC，所以△EAD≌△BCD。易得△BED 是等边三角形， 图5
所以 AB + BC=AB + AE=BE=BD。在直角三角形 BHD 【设计意图】教师这样设计的意图是想让学生通
DH 过小组讨论后解决问题，并给学生展示三种添加辅
中，∠HBD=60°， DH= 3 ，所以 = 3 =
sin∠HBD sin 60° 助线进行截长补短的解法，这种采用多种形式的解
2所以AB + BC=BD=2。 题方法，可以促进学生思维的提升。教师给学生展
示完整的解答过程和清晰的解题思路，目的是引导
学生通过回顾问题的分析过程，发展数学思维，深化
对知识的了解，巩固所学知识。
通过上述的思维训练过程，学生从截长补短的
转化方法中得到了启发，他们会联系到由∠ADC 和
∠HDC组成的“半角模型“，通过旋转的方法将△AHD
△CH'D 结合圆内接四边形对角互补的性质得到点
图3 B、C、H'共线，从而证明三角形全等实现线段的等

解法 2. 如图 4，延长 BC 至点 F，使 AB = CF 连接 长转化。
（五）反思联想
DF，类比解法1，易得△BFD是等边三角形，所以AB +
DH 教师通过运用波利亚《怎样解题表》著作中的原
BC=CF + BC=BF=BD. 又因为 = 3 = 2，
sin∠HBD sin 60° 理，从“厘清问题—拟定方案—执行方案”的思路出
所以AB + BC=BD=2。 发，解决了中考试题中线段求和的问题。但是不难发
现，上述解决问题的方法都是通过添加辅助线、构造

全等三角形的方法将线段 AB + BC 转化为易求解的
线段 BD 或 2BH。几何求解中添加辅助线，对学生而
言是一个非常大的难点，教师尝试用波利亚解题理
论思路进行引导，综合运用正向思维和逆向思维加
以突破，但学生在自主解决问题时，常常还是觉得无
从下手。笔者通过研究发现，托勒密定理在解决有关
图4 圆内接四边形相关线段问题时有非常神奇的作用。
解法 3. 如图 5，延长 BC，过点 D 作 DH 垂直 BC 的 三、依托数学微课，将托勒密定理融入专题解法
课程，促进学生数学思维能力和创新能力的提升
延长线于点 H'，因为 BD 平分∠ABC， DH'⊥BH'， DH⊥
BA，所以 DH=DH'。类比解法 1，易证△AHD≌△CH'D， （一）依托数学微课，将托勒密定理融入专题解
△ BHD≌ △ BH'D。所 以 AH = CH'， BH = BH'. 所 以 法课程，促进学生数学思维能力的提升
在专题复习中，微课充分发挥了其可移动性、针
AB + BC = BH + AH + BC = BH + CH'+BC = BH +
BH'=2BH。在直角三角形 BHD中，又因为∠HBD=60°， 对性强的优点，经过前面针对线段求和问题进行多
DH 3 角度剖析和求解，学生习得了添加辅助线结合等量
DH= 3，所 以 = = 1 ，所 以 AB +
tan ∠HBD tan 60° 转化思想求解问题和从三角形旋转的角度构造三角
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教师纵横 2025.2