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理科研讨

形全等实现等量转化求解问题的方法。回顾解题过 综上所述，本文从一道中考的线段求和问题出
程，不难发现，这样的解题辅助学生不容易想到。而 发，以波利亚解题思想和教育数学理论为指导，设计
本题探究的是圆内接四边形边和对角线的数量关 微课，开展专题解法探究。通过“厘清题意—拟定方
系，可以借助托勒密定理解决问题。因此，教师通过 案—执行方案—反思联想”这四大流程，帮助学生习
微课设计，可以从托勒密定理的起源出发，以短小精 得解决几何综合题的一般方法；通过观察分析几何
悍的微课为载体，给学生介绍托勒密定理的起源、内 图形，增强学生数形结合解决几何问题的能力；借助
容、证明和运用，使学生的知识得到延伸，数学思维 微课技术介绍托勒密定理，帮助学生加深对圆内接
得到拓展。 四边形边和对角线数量关系的理解，从而促进了学
托勒密定理揭示了圆内接四边形边和对角线的 生数学创新思维的提升。
数量关系。关于线段求和问题，回顾前面的分析，可
以得到圆内接四边形的对角线 AC= AD = CD， BD=2， 参考文献
求解的正好是四边形的边 AB + BC。教师应该在介绍 ［1］张景中，赵维坤 .把数学变容易：张景中院士
完托勒密定理后，马上引导学生尝试运用托勒密定 访谈录［J］教育研究与评论，2022（9） .
.
理对下面的问题进行求解。 ［2］胡铁生，黄明燕，李民 .我国微课发展的三个
阶段及其启示［J］远程教育杂志，2013（4）
解法 4. 在圆内接四边形 ABCD 中， AC·BD=AD· . .
BC+AB·CD。由解法 1 可知△ACD 是等边三角形。所
以 AD = AC = CD。因此 AC·BD=AC·BC+AB·AC，进而 注：广西教育研究院张景中教育数学思想在广
DH 3 西创新实验的研究专项课题“基于张景中教育数学
有 BD=BC+AB。又因为 BD = = = 2，
sin ∠HBD sin 60° 思想培养学生数学学习兴趣和习惯的实践研究”
所以AB+BC=BD=2。 （2021JYY105）。
【设计意图】教师设计这道练习题的解题过程， （责编 谭宏宽）
是以教育数学中的“改造数学教学内容，改进解题方
法”为指导思想，大胆尝试介绍托勒密定理，拓宽学
生对圆中线段关系的理解。托勒密定理揭示了圆内
接四边形对边及其对角线的数量关系，正好契合问
题已知和求解，运用托勒密定理实现了事半功倍的
效果。
（二）利用微课，在解决圆中线段关系的问题中
对托勒密定理进行创新与升华
在利用微课解题的过程中，教师对托勒密定理
进行了深化和升华。托勒密定理揭示的是圆内接四
边形两组对边乘积与对角线乘积的关系，如果将托
勒密定理中的圆内接四边形特殊化成圆内接矩形，
就可以运用托勒密定理来证明勾股定理；将托勒密
定理中圆的直径取 1，圆内接四边形的边长分别用角
度的正弦和余弦表示，就可以运用托勒密定理证明
正弦和余弦的和角公式和差角公式；将托勒密定理
进行推广还可以得到托勒密不等式：对于任意凸四
边形 ABCD，有 AC·BD≤AB·CD+AD·BC。事实上，托
勒密定理的应用远比本文中所列举到的更广泛。在
介绍完托勒密定理的作用后，教师应该鼓励学生以
此为契机，进一步在数学学习和实践中深入研究托
勒密定理，活用托勒密定理，不断提高学生的思维能
力和创新能力。
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教师纵横 2025.2